৭০০ কে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

কোনো সংখ্যাকে পূর্ণবর্গ (perfect square) সংখ্যা বানাতে হলে, সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ (prime factorization) করতে হয়। মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত (power) যদি জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হয়। যদি কোনো মৌলিক উৎপাদকের ঘাত বিজোড় সংখ্যা হয়, তাহলে সেই মৌলিক উৎপাদক দিয়ে গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হয়ে যায়।

প্রথমে ৭০০ সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:

\[ ৭০০ = ২ \times ২ \times ৫ \times ৫ \times ৭ \]

এটি ঘাত আকারে লিখলে হয়:

\[ ৭০০ = ২^২ \times ৫^২ \times ৭^১ \]

এখানে, ২ এর ঘাত হলো ২ (জোড় সংখ্যা) এবং ৫ এর ঘাত হলো ২ (জোড় সংখ্যা)। কিন্তু ৭ এর ঘাত হলো ১ (বিজোড় সংখ্যা)।

৭০০ কে পূর্ণবর্গ সংখ্যা বানাতে হলে, ৭ এর ঘাতকে জোড় সংখ্যা বানাতে হবে। এর জন্য ৭০০ কে আরও একটি ৭ দ্বারা গুণ করতে হবে।

যদি ৭০০ কে ৭ দ্বারা গুণ করা হয়, তাহলে:

\[ ৭০০ \times ৭ = (২^২ \times ৫^২ \times ৭^১) \times ৭^১ \]

\[ = ২^২ \times ৫^২ \times ৭^{(১+১)} \]

\[ = ২^২ \times ৫^২ \times ৭^২ \]

এখন, মৌলিক উৎপাদকগুলোর (২, ৫ এবং ৭) প্রত্যেকের ঘাত জোড় সংখ্যা (২)। তাই গুণফলটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

\[ ৭০০ \times ৭ = ৪৯০০ = (৭০)^২ \]

সুতরাং, ৭০০ কে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ৭ দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।